撰文
阮一峰
有人在StackExchange问了一个问题：
我一直觉得虚数（imaginarynumber）很难懂。
中学老师说，虚数就是-1的平方根。
可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？
它有什么用？
帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！
下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。
一
什么是虚数？
首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到下面的关系式：
(+1)*(逆时针旋转90度)*(逆时针旋转90度)=(-1)
如果把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2=(-1)
将逆时针旋转90度记为i：
i^2=(-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数i就是逆时针旋转90度，i不是一个数，而是一个旋转量。
二
复数的定义
既然i表示旋转量，我们就可以用i，表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标，比如(1,i)，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用+号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把(1,i)表示成1+i。这种表示方法就叫做复数（ c+di=r2*(cosβ+isinβ)
这两个复数相乘，(a+bi)(c+di)就相当于
r1*r2*(cosα+isinα)*(cosβ+isinβ)
展开后面的乘式，得到
cosα*cosβ-sinα*sinβ+i(cosα*sinβ+sinα*cosβ)
根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β)+isin(α+β)
所以，
(a+bi)(c+di) ＝ r1*r2*(cos(α+β)+isin(α+β))
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
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